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邻域
设 是数轴上一点， 是某一正数，称 为点 的 邻域，记做 ，即
上述描述是 实心邻域 ，另有 去心邻域 的概念：
即不包含 处。
另外，对邻域以 处为界限划分可以将区间划分为 左邻域、右邻域 ，这里不再赘述。
对于邻域的定义， 是一个模糊的数，它用于限定邻域这个区域的大小。函数 在 的邻域有定义即函数在 的附近有定义，但是这个 “附近” 在现阶段数系的角度无法直接说明。
极限
牛顿在《自然哲学的数学原理》(1686)中首先引出了极限的概念，以下是一个例子：
平均速度 可以表示为：
瞬时速度 可以表示为：
即，瞬时速度 是 平均速度 在时间间隔趋近于零时的极限值。
该描述存在局限性：
- 需要使用 ”无限趋近” 等模糊的描述性词语
- 无法摆脱无穷小这个概念
最终被广泛接受的极限的严格定义是由德国数学家维尔斯特拉斯提出的，这个定义被称为 ” 语言“：
由上图可以看到，不管 的 邻域 如何变化（无论 是多少），都存在 的邻域（存在一个 ）使得 。当 的取值越小， 越小，即 ，。（逼夹）
但是我们可以发现， 、 这两个将 ”无限趋近 0” 的数依然没有被具体描述，维尔斯特拉斯巧妙地绕开了对这两个数的论述。
以下是维尔斯特拉斯对于 个函数极限的定义
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超实数在极限中的应用
超实数（Hyperreals, *R）
源于数系在特定运算下的不封闭，数学家们已经从自然数 扩展到整数 （减法的不封闭性）、从整数 扩展到有理数 （除法的不封闭性）、从有理数 扩展到实数 （对正数开平方或开偶次方根的不封闭性）、从实数 扩展到复数 （对负数开平方的不封闭性）。
面对极限中出现的模糊概念（如无穷小量），他们创造出了 超实数（Hyperreals, ）。
超实数系统包含了所有实数，同时还包含了无穷大和无穷小的数。
在 实数系 中：
在超实数系 中
设 ，称 为有限超实数， 为无穷超实数
超实数与实数的关系
超实数系统 是实数系统的扩张，它不仅包含了所有实数，还包含了无穷大量和无穷小量。在这个系统中，每个标准实数周围都存在多个 光晕(halo)，这些光晕由所有与该标准实数无限接近的超实数构成。
定义一个函数
std() ，对于任何有限的超实数 ，其标准部分 std(x) 被定义为最接近 的唯一实数。这个函数将超实数映射到它所围绕的实数。称 为超实数的标准实数部分， 是非零无穷小。
将目光放回牛顿提出的 瞬时速度 的计算：
传统实数域视角
在实数域 中，瞬时速度的计算公式：
这个表达式在实数域中存在逻辑困境：如果 ，分母为零使得表达式无意义；如果 ，又无法真正表达 "瞬时" 的概念。
超实数域视角
在超实数域 中，同样的表达式获得了严格的数学意义：
- 可以是非零的无穷小量
- 是一个确定的超实数
- 趋核运算（即 ）将这个超实数（）映射到标准实数
可以发现 与 函数的作用都是将超实数映射到其所围绕的实数。
所以，极限无意义的情况即映射出来的实数不唯一或为 （也称该趋核运算不存在）
最后读者若是将目光移回 邻域 应该也很容易理解了。
极限的计算
极限的计算必须顺序以下面的两个步骤进行。
对于函数 ，要求 时的极限，计算步骤如下：
设
- 对 做实数运算。
- 趋核运算 ，若核值唯一，称趋核运算存在即极限存在。否则称趋核运算不存在即极限不存在。
趋核运算本质上是通过抛弃非零无穷小来获取超实数的标准实数部分。不按顺序计算与按顺序计算的区别是 抛弃后再做运算 与 运算后再做抛弃，很明显可能会出现精度差异。
等价无穷小 的替换是否没有遵守上述两步骤的顺序呢？比如：首先说明：没有违背上述两个步骤的顺序，等价无穷小的直接替换实际上是实数运算的简写：已知实际的计算同理，同阶无穷小 实际上也可用于 “替换”
上面已经涉及到了 等价无穷小、同阶无穷小 这类名词，所以接下来我们得讲讲 光晕层级。
光晕层级
设有两函数 、 且有如下条件
对于这两个函数，有如下定义：
- 是 的同阶无穷小：
- 是 的等价无穷小：
- 是 的高阶无穷小：
- 是 的低阶无穷小：
在超实数系统中，无穷小量是确定的数。各无穷小量其实都是实数 的光晕，它们的区别即距离实数 的远近。
当我们说一个无穷小量比另一个 ”更快趋于零” 时，实际上是在描述它们在超实数系统中的层次关系。具体来说更高阶的无穷小量在与标准实数 的距离比较低阶的无穷小量与标准实数 的距离更近。
结合光晕的层级关系判断光晕到标准实数 的距离，我们可以很容易理解 同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小 的定义。
- 是 的同阶无穷小：
- 是 的等价无穷小：
- 是 的高阶无穷小：
- 是 的低阶无穷小：
趋核四则运算
设 、 （极限存在）
高阶无穷小的计算
定义 是 的高阶无穷小
设 、 为正整数，则：
- 作者:Kechang
- 链接:https://kechang.uk/article/14e4fa24-e032-80e0-9534-e6b302df329d
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